Salut Rémi,
J'ai été dans la même situation que toi

Tu réponds bien à ta question, tu ne peux malheureusement travailler que pour l'employeur qui est inscrit sur ton permis de travail.
Pendant mon emploi de perfectionnement (développement professionnel) j'ai été amené à faire des petits contrats et j'ai eu aucun souci.
Par contre, pense bien à déclarer ces revenus aux impôts si tu ne veux pas avoir de soucis
L'autre solution consiste à mettre des coordonnées françaises sur tes factures et à demander un viremement sur ton compte français.
Bon courage!