Faire le tour du poteau pour présenter une demande de permis d'étude

Bonjour à tous !
J'aimerais de l'éclaircissement sur un sujet. Voilà ma situation : en Juin 2018, j'ai fais une demande de permis d'étude qui a été accepté. Seulement, elle avait été faite avec un passeport qui expire ce 30 janvier 2019. En Juillet, j'ai renouvellé mon passeport, celui ci expiré donc en 2028.
Mais voilà, le permis d'étude que j'ai obtenu est rattaché à mon ancien passeport, il expire donc ce 30 janvier. Fin Octobre, j'ai entamé les procédures pour le proroger mon permis et c'est seulement cette semaine que j'ai reçu une lettre indiquant un refus pour ma demande (ce que je comprend tout à fait car j'ai mal rempli mes documents). Or, le temps presse, je n'ai plus le temps de faire une nouvelle demande de prorogation, mes cours reprennent le 23 et j'aimerais garder mon statut d'étudiante.

J'ai entendu parler du "tour du poteau", notemment pour les permis de travails mais le site des Services Frontaliers précise que ça peut aussi être fait pour des demandes de permis d'étude. Je penche donc pour cette option.

Maintenant, comment me préparer pour cela, comment convaincre l'agent de me donner un nouveau permis d'étude qui couvrira toute la durée de mon cursus ? Comment tous ça se passe ? Je dois avouer que cette situation me stresse un peu.

Merci beaucoup d'avance pour votre aide, réponses, éclaircissements.