Oui, un visa touriste n'est pas la solution dans ton cas.
Comme tu as une convention, je te demandais si tu ne pouvais pas appliquer à un visa de "stagiaire" (via l'entreprise qui te prendra en stage) qui te permettrait également de travailler (je sais qu'ici en Australie, ça existe). Ca serait vraiment la meilleure option!

Si ça n'est pas le cas, je mentionnais le fait qu'il sera difficile d'obtenir un visa de travail.
Sinon, il me semble aussi que l'école publique en Nouvelle-Zélande n'est gratuite que pour les citoyens ou résidents permanents. En général, pour les résidents temporaires, des frais de scolarité sont appliqués (je ne sais pas de combien par contre!)