Offre d'embauche après un stage coop qui arrive à expiration : que faire ?

Bonjour à tous,

J’ai appris hier une bonne nouvelle qui se révèle maintenant être un cauchemar.
Je suis actuellement à Montréal pour un stage de fin d’études au sein d’une entreprise. Après quelques mois de discussions, ils m’ont proposé un emploi au terme de mon stage. Toutefois, après la joie de cette annonce, c’est là que le problème se pose (et que mon cauchemar commence).

Je suis actuellement ici, au Canada, avec un permis Stage Coop qui expire le 23 aout, c’est-à-dire dans deux semaines. J’aimerais accepter leur offre d’embauche, mais du coup, je ne sais pas vers quel autre permis me tourner.

Je sais également que si je commence des démarches, je serais en statut implicite (on m’a parlé de ce cas), mais voilà le deuxième problème. Je dois absolument retourner en France en septembre pour passer ma certification et obtenir mon diplôme. De ce fait, comment puis-je revenir au Canada sans être dans l’illégalité ?

J’avais d’abord pensé demander une prolongation de mon Stage Coop pour attente les JP 2015, mais voilà : mon école étant fermé jusqu’en septembre et personne n’est de garde pendant ce mois de vacances (j’ai donc mis de coté cette solution).

Après cela, je me demande si je ne devrais pas commencer à faire des démarches pour un permis de travail temporaire, mais je ne sais pas si cela peut m’aider. Est-ce la bonne solution ? Que devrais-je faire ? Par quoi commencer ? Combien de temps les démarches prendront-elles ? Est-ce que l’employeur doit faire des démarches ?

Peut-être existe-t-il d’autres alternatives que je ne connais pas ?

Pour finir, mon entreprise m’a proposé un système un peu « tricky » pour continuer à travailler en attendant le JP. Elle me propose d’utiliser le statut d’autoentrepreneur (en France) pour travailler en tant que consultante au Canada. En bref, je reviendrais sur le sol canadien, au terme de mes examens, en tant que touriste pour travailler avec eux. Je leur facturerais via mon autoentreprise en France. Cette idée me semble très illégale, car le visa touriste ne permet par de travailler. Toutefois, je suis tellement désespéré de trouver une idée qu’elle pourrait bien me satisfaire le temps d’obtenir un JP. Pensez-vous que je devrais quand même accepter ?

J’avais pas mal parcouru le forum avant, mais là j’ai vraiment l’impression que ma situation est un gros sac ce nœud incompréhensible pour moi. Je remercie donc d’avance tous ceux qui m’aideront à y voir plus clair.
Merci beaucoup de votre aide !